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0 的发明

2020-06-03 606浏览量

目前数学普及中译书籍中有两本与数目 0 有关:《从零开始》与《零的故事》。本文增补其中有关古代中国数学的相关内容。

在数学史上,$$0$$ 可以说是一个相当「年轻」的概念。对很多早期的人类文明来说,譬如古希腊哲学家毕达哥拉斯,数目(number)$$1$$ 并不是数目,而是万事万物的根本,颇有一点「道生一」的味道。这种认知并非仅限于哲学家而已,古希腊的欧几里得 (Euclid) 也不例外,他在《几何原本》中所定义的「自然数」(或整数,whole number),就是从 $$2$$ 开始的。

后来,$$1$$ 虽然也被纳为自然数,但是,代表「全无」的 $$0$$ 概念,毕竟很难从代表「全有」的 $$1$$ 概念发展出来,希腊数学史就是最好的见证之一。平心而论,利用一个「有形的」实体(譬如「$$0$$」)去代表「没有」或「空无」,的确是人类认知的一大跃进。

试想如果我「没有」养宠物,那幺,我应该不会说成:「我有『$$0$$』只宠物」。这或许也可以解释:何以在十六世纪以前的数学文本中,我们几乎找不到以「$$0$$」为答案的例题。

事实上,代表「$$0$$」概念的记号,儘管在古巴比伦数学泥版中,曾经被用来填补不同位置数码之间的「空位」,但是,它却从来就不曾在最后一个数码(numeral)之后,因此,从「功能」的观点来看,它是一个意义不完整的记号。不过,在他们的天文泥版中,楔形文字(cuneiform)的零号,倒是发挥了今日位值中 $$0$$ 号的作用,它不仅表示空位,也指示了数码的位置。

儘管如此,他们还没有将零看作一个数目,也未曾将它与「空无」概念连结起来。一旦他们在数学运算中遭遇了零,譬如 $$20$$ 减 $$20$$,就不知道如何表达,只好写道:「$$20$$ 减 $$20$$,你看!」还有,在讨论穀物分配时,如果没有剩余,则不用零号表示,而是写着:「穀物已耗尽!」

另一方面,在数学史上,凡是利用计算器来进行演算的例子,都会利用「空位」,来表示那个位置的数码付诸缺如。

中国古代的计算器,如早期的「算筹」与后来的「算珠」(在珠算盘上操作),也都不例外。在这种情形下,即使在宋元「天元术」(一种列代数方程式的方法)的「细草」中曾经出现「○」的记号,但由于它用来填补算筹演算过程的数码「空位」,所以,「$$0$$」概念的运算面向 (operational aspect),应该是尚未获得显现出来才是。不过,一旦十三世纪中国数学家被认为开始使用「笔算」得到证实,则当时中国人对于「$$0$$」的认知,或许就会变得比较成熟。这是因为 $$0$$ 概念的演化与笔算息息相关的缘故。

或许我们应该回顾一下更早的中国人如何认识「$$0$$」这个概念。「$$0$$」在中文中读如「零」!然则这个汉字究竟有没有「$$0$$」概念的意涵呢?答案恐怕令人失望!

根据《形音义综合大字典》中的说明,甲骨文缺「零」字,它最早在「金文」中出现。就文字结构来说,它上从雨、下从令(美好),本意作「徐雨」解,意思是说:「徐雨缓缓降落,泽润万物,固与急雨、骤雨之足以伤物、妨农有别,是有美好意,故零从令声。」由此看来,它的汉字本义与「零丁」、「零雨」、「零落」、「零星」与「零碎」是连结在一起的,完全没有「空无」的意思。如此看来,此零当然非彼 $$0$$!

根据数学史家研究,$$0$$ 这个数码是印度人所发明的。在印度数学史上,利用小圈表示 $$10$$ 进位制记数法的零,最晚在公元 876 年已经出现。但是,印度人对于零的最大贡献,则是最先承认它是一个数目,而不仅仅是空位或一无所有。这种看法早在第六世纪即已出现,当时的天文学家瓦拉哈米希拉 (Varahamihira,505-587) 对零进行了加减运算。

第七世纪,婆罗门笈多 (Brahmagupta,598年出生) 在他的着作《宇宙的开端》中指出:「负数减去零是负数,正数减去零是正数,零减去零甚幺也没有;零乘负数、正数或零都是零。…… 零除以零是空无一物,正数或负数除以零是一个以零为分母的分数。」这是印度人以零作除数的最早纪录。后来的两位伟大数学家马哈维拉 (Mahavira, 850年) 与婆什迦罗 (Bhaskara, 1114-1185?),都企图解决同一问题,可惜都功败垂成。儘管如此,印度人最早视 $$0$$ 为一个数目,殆无疑问。既然如此,$$0$$ 当然是他们所率先发明的。

$$0$$ 的发明故事看来非常曲折!不管是(记数用的)数码(譬如楔形文字)中的空白、计算器(譬如珠算盘)中的空位,或是填补空白的记号(如汉字抄写时的缺字记号□或○),都不能算是接触了 $$0$$ 的概念。事实上,数字 (number word) 或只作记数用的数码(譬如香港有一些百年商店仍然使用的苏州暗码),都不曾在这样的脉络中,参与实际的运算过程。

因此,即使有代表所谓 $$0$$ 的记号出现,当然也很难说它就表徵了一个数目。更何况在「笔算」的脉络中,既然任何数目都可以作为除数,那幺,$$0$$ 或其相当的记号也不能例外,于是,在此一脉络中的数学家,势必面对 $$0$$ 能否作除数的问题。正因为如此,数学史家才会审慎地断定:在所有的古文明中,只有印度人发明了 $$0$$ 概念。

最后附带注记:在数学史上,计算脉络时所依赖的表徵(represent)数目(number)之符记,可能被称为数码(numeral)或数字(number word)。

我们认为适当地釐清 number、numeral 和 number word 之区别,相当有助于理解 $$0$$ 的发明故事之意义。

参考文献:

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